흙의 투수_Darcy’s Law

흙의 투수
(Darcy's Law)

안녕하세요, 꾸공남입니다!

오늘은 흙의 투수, 즉 흙 내에서 물이 어떻게 이동하는지에 대해 알아보겠습니다.

흙은 상호 연결되는 간극이 존재하기 때문에, 에너지가 높은 곳에서 낮은 곳으로 물이 흐르게 됩니다.

물이 흐르는 법칙을 정형화하였고, 이러한 법칙을 Darcy’s Law (Darcy의 법칙)라고 합니다.

그럼 시작하도록 하겠습니다!

1. Bernoulli 방정식 (베르누이 방정식)

베르누이 방정식에 대해서는 모두 들어보셨을 겁니다.

유체역학에서 Bernoulli 방정식에 의하면, 움직이고 있는 물의 임의의 점에서 전수두(Total Head/물이 가진 에너지)는 압력수두, 속도수두, 위치수두의 합으로 정의됩니다.

이 “전수두”라는 에너지가 높은 곳에서 낮은 곳으로 물은 흐르게 됩니다.

베르누이
전수두 = 압력수두+속도수두+위치수두

순서대로 압력수두/속도수두/위치수두

* 위치수두 Z는 기준면에서 임의의 점까지의 연직거리입니다.

* 압력수두는 임의의 점에서 수압을 물의 단위중량 γw로 나눈 값입니다.

흙 속의 간극 내에서는 침투유속이 느리기 때문에, 속도수두는 무시할 수 있고, 전수두는 다음과 같이 표현됩니다.

흙 입자 내 물
전수두 = 압력수도 + 위치수두

* 흙의 입자 사이 간극을 통해 이동하기 때문에 물의 흐름이 빠르지 않습니다.

* 흙 입자를 이동시키는 강한 물의 흐름은 속도수두를 무시할 수 없다는 점 참고해주시기 바랍니다.

2. 동수경사 (Hydraulic Gradient)

동수경사란, 손실수두를 무차원의 형태로 표기한 것입니다. (m/m)

아래의 그림으로 알아보겠습니다.

전수두 표현
압력수두, 위치수두
<전수두 표현>

전수두 차 Δh 를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

수두차
deltah=ha-h=(ua/rw+za)-(ub/rw+zb)

동수경사(Hydraulic Gradient)는 다음과 같이 표기할 수 있습니다.

동수경사 i=delta h / L

L=시료간의 거리 (물이 이동한 거리)

일반적으로 동시경사 i에 따른 유속 v의 변화는 아래의 그래프와 같습니다. 총 3개의 구역으로 나뉘는데요.

유출속도와 동수경사 상관관계
<유출속도와 동수경사 상관관계>

– 층류영역(Laminar flow zone, 영역1)

– 전이영역(Transition zone, 영역2)

– 난류영역(Turbulent flow zone, 영역3)

보시다시피, 층류영역에서 특히 선형관계를 유지함을 알 수 있습니다.

대부분의 흙에서는 위에서 설명한 바와 같이 유속이 낮기 때문에 층류영역으로 판단할 수 있으며, 그렇기에

* V (유속) α i (동수경사)

의 관계를 만족하게 됩니다.

* 파쇄대가 심한 암반, 암석, 자갈, 굵은 모래에서는 난류조건이 존재할 수 있으므로 비례관계가 성립하지 않을 수 있습니다.

3. Darcy의 법칙 (Darcy’s Law)

Darcy의 법칙에 따르면 흙을 통과하는 물의 유출속도에 대한 방정식은 다음과 같습니다.

v=ki

v = 유출속도(discharge velocity), 단위 시간 내 물의 흐름 방향에 직각이 되는 전체 단면적에 흐르는 물의 속도

k = 투수계수

* 위의 식 V (유속) α i (동수경사)와 유사함을 확인해주세요.

위의 식 v는 흙의 전단면적에 대한 물의 유출속도입니다. 하지만 앞서 설명드린바와 같이, 간극을 통과하는 물의 실제 속도(침투속도)는 v보다 큽니다.

흙 단면 예시
<흙 단면>

* 흙의 입자의 표면면적이 포함된 A로 이동하는 것이 아니라, 입자들의 면적이 제외된 ‘간극’으로만 물이 이동할 수 있기 때문입니다.

단위시간당 흙을 통해 흐르는 물의 양의 q(m3/sec) 라고 하면, 아래와 같은 식이 성립됩니다.

q=vA=A_v V_s
q=v(A_v + A_s) = V_S A_v

– 여기서, Vs= 침투속도 / Av = 시료의 횡단면 내 간극의 면적

– A = Av+As

– 흙 입자의 면적 As

그럼 아래와 같은 식이 성립됩니다.

vs=v(Vv+Vs)/Vv
vs=v/n

여기서, v=간극률, e=간극비 입니다.

* 흙의 물리적 특성에 대해서는 아래의 글을 참고해주세요!

이렇게 Darcy의 법칙에 대한 설명을 마치겠습니다.

감사합니다!

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