안녕하세요! 꾸공남입니다.
오늘은 전단 응력(Shear Stress)와 전단 강도(Shear Strength)에 관하여 알아보는 시간입니다.
전단 응력과 전단 강도는 재료역학에서 많이 들으셨을 건데요.
지반공학, 토질역학에서도 같은 개념으로 설명할 수 있습니다.
공식에 관련한 사항은 이미 아래의 포스팅 마지막에 제시되어있으니, 오늘은 이해를 돕기 위한 부가 설명하도록 하겠습니다.
그럼 시작하겠습니다!
1. 전단 응력 (Shear Stress)
(1) 개념
전단 응력이란, 전단력으로 인해 발생하는 힘으로, 쉽게 설명하여 물체의 표면에 평행한 힘으로 작용하는 힘에 의해 발생하는 응력을 말합니다. 쉬운 예를 들어, 아래의 그림을 참고할 수 있습니다.
(2) Mohr’s Circle
자, 그럼 흙 입자에서는 어떻게 표현할 수 있을까요?
아래와 같은 수직응력과 전단응력을 표현할 수 있습니다.
- σy, σx = 수직응력 (단, σy > σx)
* 흙의 수직응력이 수평응력보다 강하기 때문입니다. (수평응력은 “수평 토압 이론”에 따릅니다)
- τxy = 전단응력 (평면에 작용하는 전단응력은 동일)
여기서 임의의 한 평면(θ 각도로 기울어진)에 작용하는 수직응력과 전단응력을 각각, σn, τn 으로 표현해보겠습니다.
그럼 각 σn, τn 은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
여기서, τn=0 이 되는 평면이 어느 정도의 각도(θ)를 가지고 있는 지를 확인해보면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.
이 식을 다시 해석해보면, 주어진 σy, σx, τxy에 상응하는 θ가 90도의 각도를 이루면서 2가지가 존재한다는 것을 알 수 있습니다.
이는 서로 90도의 각을 이루고 있으면서 전단응력이 0인 두 평면이 있음을 의미합니다.
이러한 면들을 주응력면(Principal Plane)이라 하고, 여기에 작용하는 수직응력을 주응력(Principal Stress)라고 합니다.
tan 2θ의 식을 σn에 대입하면, (전단응력은 이미 0이라 가정) 아래와 같은 2개의 식을 얻을 수 있습니다.
이렇게 작용하는 응력은 Mohr’s circle로 다시 나타낼 수 있습니다.
* σy, σx 가 circle 상에서 180도 각을 이루고 있음을 확인해주세요!
* 위의 σn, τn의 식으로 유도되는 것이기 때문에, 2θ 의 식으로 Mohr’s circle이 만들어지게 됩니다.
* 우리는 아까 90도의 각도를 이루고 있는 서로 σy, σx를 산정했기 때문에, 180도의 각을 이루는 선에서 σy, σx 가 해당하게 됩니다.
* Mohr’s Circle이 의미하는 바는, 흙이 Circle에 해당하는 수직응력과 전단응력의 조합을 받고 있다는 것을 의미합니다.
2. 전단강도 (Shear Strength)
(1) 개념
“강도”라는 개념이 그렇듯, 흙의 전단 강도란 흙이 전단 응력에 얼마나 저항하는지를 나타내는 물리적 특성입니다.
토양의 강도와 안정성을 평가하는데 핵심 요소라고 할 수 있습니다.
(2) Mohr-Coulomb의 파괴규준
Mohr의 이론에 따르면, 흙이 “최대전단응력”에서 파괴되는 것이 아니라, 수직응력과 전단응력의 임계 결합상태에서 파괴됩니다.
함수관계를 가지고 있다는 것이죠.
* Mohr’s Circle 또한 수직응력과 전단응력의 조합을 설명하고 있음을 유념해주세요!
때문에, 파괴에 저항하는 “전단 강도”에 대한 식은 다음과 같이 나타낼 수 있게 됩니다.
여기서, Φ = 흙의 고유 내부마찰각입니다.
그럼, 아래와 같은 그래프를 그릴 수 있게 됩니다. 이를 Mohr-Coulomb의 파괴규준이라고 합니다.
* 이 그래프가 흙이 버틸 수 있는 “강도”를 의미함을 기억해주시기 바랍니다.
3. 전단 응력과 전단 강도의 조합
Mohr’s Circle과 Mohr-Coulomb 모두 σ, τ 축인 그래프라는 것을 눈치채셨을 겁니다.
이제 우리는,
1) 흙에 작용하고 있는 응력의 조합인 Mohr’s Circle과
2)흙이 버틸 수 있는 기준인 Mohr-Coulomb 파괴규준을 함께 나타낼 수 있습니다.
버틸 수 있는 기준과 작용하고 있는 응력이 같아지는 지점! 바로 그 지점이 흙이 파괴되는 응력 조합입니다.
결국, 우리는 항상 흙의 전단응력과 전단강도를 계산하고, 흙의 파괴가 일어나지 않을 만큼 강도를 높이거나, 응력을 낮추는 방법으로 설계 및 공사를 실시해야 합니다.
이상으로, 설명을 마치겠습니다.
도움되셨길 바랍니다!